摘  要： 提出了均勻三次B-spline曲線反算的快速算法。在Matlab中編程實(shí)現(xiàn)，大大降低了程序的復(fù)雜性，提高了運(yùn)算效率，并使重構(gòu)所得曲線的兩個(gè)端點(diǎn)處曲率不為零，滿足了一階連續(xù)，并給出了應(yīng)用實(shí)例。
關(guān)鍵詞： 逆向工程；B-spline；反算算法；Matlab

　在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)實(shí)踐中，常遇到設(shè)計(jì)者事先并不知道控制多邊形頂點(diǎn)的位置，而只知道曲線上的某些型值點(diǎn)的情況。從設(shè)計(jì)角度上來(lái)說，通常考慮的是曲線的大致形狀，而非控制多邊形的大致形狀。為了構(gòu)造B-spline曲線，就需要由已知的型值點(diǎn)反算出控制多邊形的頂點(diǎn)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，B-spline 曲線的反算過程所涉及到的計(jì)算量很大，因此討論B-spline 曲線的快速反算算法有著很重要的意義[1]。
　對(duì)于三次均勻B-spline曲線的反算，朱心雄[2]給出了一種計(jì)算速度快且易于編程的反算控制頂點(diǎn)的迭代方法，可以得到在允許誤差范圍內(nèi)的C2連續(xù)曲線。而參考文獻(xiàn)[3]通過A-1的研究對(duì)三對(duì)角矩陣提出了一種優(yōu)于追趕法和LU分解法的求解方法。但是它們都是以兩端曲率為零作為邊界條件，可能出現(xiàn)人們所不希望看到的曲線在端點(diǎn)處不連續(xù)的現(xiàn)象。針對(duì)B-spline 曲線的反算過程計(jì)算量大，重構(gòu)曲線端點(diǎn)處曲率不連續(xù)的問題，本文提出了一個(gè)有效的解決辦法，并在Matlab[4]中予以編程實(shí)現(xiàn)，大大降低了程序的復(fù)雜性，提高了運(yùn)算效率，并使重構(gòu)所得曲線的兩個(gè)端點(diǎn)處曲率不為零，至少滿足了一階連續(xù)。

　式中總共有m+1個(gè)線性方程組，但有n+1個(gè)控制頂點(diǎn)未知量。因此，要想得到唯一解，需要另外補(bǔ)充兩個(gè)方程，這兩個(gè)方程一般由邊界條件給定。邊界的補(bǔ)充條件有多種形式，如給定兩端點(diǎn)的切向量、自由端點(diǎn)條件、虛節(jié)點(diǎn)條件和拋物線條件等，實(shí)際應(yīng)用中根據(jù)具體情況選取適合的邊界補(bǔ)充條件。有了補(bǔ)充方程，即可用迭代法或追趕法等求解所建立的線性方程組。
2 快速反算算法
　將定義在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間上用整體參數(shù)u表示的B-spline基變換成用局部參數(shù)t∈[0，1]表示，則三次均勻B-spline曲線段的矩陣表示為：

參考文獻(xiàn)
[1] 劉德平．逆向工程關(guān)鍵技術(shù)及其應(yīng)用研究[D]．西安：西安電子科技大學(xué)，2008．
[2] 朱心雄．自由曲線曲面造型技術(shù)[M]．北京：科學(xué)出版社，1999．
[3] 吳光亞，王小華．反求三次B樣條曲線控制頂點(diǎn)的一種快速算法[J]．杭州電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，25(3)：64-66．
[4] 王學(xué)輝，張明輝．Matlab 6.1最新應(yīng)用詳解[M]．北京：中國(guó)水利水電出版社，2002．