簡介
放大器的仿真模型通常是利用電阻、電容、晶體管、二極管、獨立和非獨立的信號源以及其它模擬元件來實現的。一種替代方法是使用放大器行為的二階近似（拉普拉斯轉換），這可加快仿真速度并將仿真代碼減少到三行。

然而，對于高帶寬放大器，采用s域傳遞函數的時域仿真可能非常慢，因為仿真器必須首先計算逆變換，然后利用輸入信號對其進行卷積。帶寬越高，則確定時域函數所需的采樣頻率也越高，這將導致卷積計算更加困難，進而減慢時域仿真速度。

本文進一步完善了上述方法，將二階近似合成為模擬濾波器，而不是 s域傳遞函數，從而大大提高時域仿真速度，特別是對于高帶寬放大器。

二階傳遞函數
放大器仿真模型的二階傳遞函數可以利用Sallen-Key濾波器拓撲實現，它需要兩個電阻、兩個電容和一個壓控電流源；或者利用多反饋(MFB)濾波器拓撲實現，它需要三個電阻、兩個電容和一個壓控電流源。這兩種拓撲給出的結果應相同，但Sallen-Key拓撲更易于設計，而MFB拓撲則具有更好的高頻響應性能，可能更適合可編程增益放大器，因為它更容易切換到不同的電阻值。

首先，利用二階近似的標準形式為放大器的頻率和瞬態響應建模：

圖1顯示了如何轉換到Sallen-Key和多反饋拓撲。

圖1. 濾波器拓撲結構

放大器的自然無阻尼頻率ω_n等于濾波器的轉折頻率 ω_c，放大器的阻尼比ζ 則等于 ½乘以濾波器品質因素Q 的倒數。對于雙極點濾波器， Q 表示極點到jω軸的徑向距離；Q 值越大，則說明極點離 jω軸越近。對于放大器，阻尼比越大，則峰化越低。這些關系為 s域 (s = jω) 傳遞函數與模擬濾波器電路提供了有用的等效轉換途徑。

設計示例：5倍增益放大器
該設計主要包括三步：首先，測量放大器的過沖(M_p) 和建立時間 (t_s)。其次，利用這些測量結果計算放大器傳遞函數的二階近似。最后，將該傳遞函數轉換為模擬濾波器拓撲以產生放大器的SPICE模型。

圖2. 5倍增益放大器

例如，利用Sallen-Key和MFB兩種拓撲仿真一款5倍增益放大器。從圖2可知，過沖(M_p) 約為22%，2%建立時間則約為2.18 μs。阻尼比ζ計算如下：

重排各項以求解ζ：

接下來，利用建立時間計算自然無阻尼頻率（單位為弧度/秒）。

對于階躍輸入，傳遞函數分母中的 s² 和 s 項（弧度/秒）通過下式計算：

和

單位增益傳遞函數即變為：

將階躍函數乘以5便得到5倍增益放大器的最終傳遞函數：

下面的網絡列表模擬5倍增益放大器傳遞函數的拉普拉斯變換。轉換為濾波器拓撲之前，最好運行仿真以驗證拉普拉斯變換，并根據需要延長或縮短建立時間以調整帶寬。

***GAIN_OF_5 TRANSFER FUNCTION***

.SUBCKT SECOND_ORDER +IN –IN OUT

E1 OUT 0 LAPLACE {V(+IN) – V(–IN)} = {89.371E12 / (S^2 + 3.670E6*S + 17.874E12)}

.END

圖3所示為時域的仿真結果。圖4所示為頻域的仿真結果。

圖3. 5倍增益放大器：時域仿真結果

圖4. 5倍增益放大器：頻域仿真結果

脈沖響應的峰化使得我們可以輕松保持恒定的阻尼比，同時可改變建立時間以調整帶寬。這將改變復數共軛極點對相對于實軸的角度，改變量等于阻尼比的反余弦值，如圖5所示?？s短建立時間會增加帶寬，延長建立時間則會減少帶寬。只要阻尼比保持不變且僅調整建立時間，則峰化和增益不受影響，如圖6所示。

圖5. 5倍增益傳遞函數的復數共軛極點對

圖6. 建立時間調整與帶寬的關系

一旦傳遞函數與實際放大器的特性一致，就可以將其轉換為濾波器拓撲。本例將使用Sallen-Key和MFB兩種拓撲。

首先，利用單位增益Sallen-Key拓撲的正則形式將傳遞函數轉換為電阻和電容值。

根據 s項可以計算 C₁：

選擇易于獲得的電阻值，例如R₁ 和 R₂均為10 kΩ，然后計算 C₁。

利用轉折頻率的關系式求解C₂。

相應的網絡列表如下文所示，Sallen-Key電路則如圖7所示。E1乘以階躍函數以獲得5倍增益。Ro提供2 Ω輸出阻抗。 G1 是增益為 120 dB的VCCS。 E2為差分輸入模塊。頻率與增益的仿真與采用拉普拉斯變換的仿真完全相同。

.SUBCKT SALLEN_KEY +IN –IN OUT

R1 1 4 10E3

R2 5 1 10E3

C2 5 0 10.27E–12

C1 2 1 54.5E–12

G1 0 2 5 2 1E6

E2 4 0 +IN –IN 1

E1 3 0 2 0 5

RO OUT 3 2

.END

圖7. 采用Sallen-Key濾波器的5倍增益放大器仿真電路

接下來，利用MFB拓撲的標準形式將傳遞函數轉換為電阻和電容值。

從計算R₂開始轉換。為此，可以將傳遞函數改寫為以下更為通用的形式：

設置 C₁ = 10 nF，然后選擇C₂ ，使得根號下的量為正數。為方便起見，選擇C₂ 為 10 pF。代入已知值 C₂ = 10 pF、a₁ = 3.67E6、K = 5、 a₀ = 17.86E12 ，計算R₂值：

R₁ 的值很容易計算，等于 R₂/K = R₂/5 = 33。根據標準多項式系數可求解 R₃。代入a₀、R₂和 C₂ 的已知值可得：

最后，驗證元件比是否正確，即代入a₀、R₂、 R₃、增益K和 C₂ (從s 項求得)的已知值時，C₁ 應等于10 nF。

得出元件值后，再代入方程式中，驗證多項式系數在數學上是否正確。利用電子表格計算器就能輕松完成這項工作。所示的元件值是可以用于最終SPICE模型的實際值。實際應用中，應確保最小電容值不低于10 pF。

5倍增益放大器的網絡列表如下文所示，模型則如圖8所示。G1是開環增益為120 dB的VCCS（壓控電流源）。注意，如果使用電阻、電容、二極管和非獨立源，所需的元件數將多得多。

.SUBCKT MFB +IN –IN OUT

***VCCS – 120 dB OPEN_LOOP_GAIN***

G1 0 7 0 6 1E6

R1 4 3 330

R3 6 4 34K

C2 7 6 1P

C1 0 4 1N

R2 7 4 1.65K

E2 3 0 +IN –IN 1

E1 9 0 7 0 –1

***OUTPUT_IMPEDANCE RO = 2 Ω***

RO OUT 9 2

.END

圖8. 采用MFB濾波器的5倍增益放大器仿真電路

設計示例：10倍增益放大器
在第二個示例中，考慮一個無過沖10倍增益放大器的脈沖響應，如圖9所示。建立時間約為7 μs。由于無過沖，脈沖響應可以近似為具有臨界阻尼， ζ ≈ 0.935 (M_p = 0.025%)。

圖9. 無過沖10倍增益放大器

在無過沖的情況下，很容易保持恒定的建立時間，并調整阻尼比以模擬正確的帶寬和峰化。圖10顯示了極點如何隨阻尼比而變化，與此同時建立時間保持不變。圖11顯示了頻率響應的變化情況。

圖10. 不同阻尼比對應的極點位置，建立時間保持不變

圖11. 不同阻尼比對應的頻率響應，建立時間保持不變

***AD8208 PREAMPLIFIER_TRANSFER_FUNCTION (GAIN = 20 dB)***

.SUBCKT PREAMPLIFIER_GAIN_10 +IN –IN OUT

E1 OUT 0 LAPLACE {V(+IN)–V(–IN)} = {3.734E12 / (S^2 + 1.143E6*S + 373.379E9)}

.END

為求得單位增益拓撲的電阻和電容值，請像前面一樣選擇R₁ = R₂ = 10 kΩ 。利用與5倍增益放大器示例相同的方法計算電容值：

網絡列表如下文所示，Sallen-Key仿真電路模型則如圖12所示。E2是一個10倍增益模塊，與一個2 Ω輸出阻抗一起置于輸出級。E2將單位增益傳遞函數放大10倍。拉普拉斯變換和Sallen-Key網絡列表產生的仿真相同，如圖13所示。

***AD8208 PREAMPLIFIER_TRANSFER_FUNCTION (GAIN = 20 dB)***

.SUBCKT AMPLIFIER_GAIN_10_SALLEN_KEY +IN –IN OUT

R1 1 4 10E3

R2 5 1 10E3

C2 5 0 153E–12

C1 2 1 175E–12

G1 0 2 5 2 1E6

E2 4 0 +IN –IN 10

E1 3 0 2 0 1

RO OUT 3 2

.END

圖12. 采用Sallen-Key濾波器的10倍增益放大器仿真電路

圖13. 采用Sallen-Key濾波器的10倍增益放大器的頻域仿真

利用MFB拓撲可以進行相似的推導。網絡列表如下文所示，仿真模型則如圖14所示。

***AD8208 PREAMPLIFIER_TRANSFER_FUNCTION (GAIN = 20 dB)***

.SUBCKT 8208_MFB +IN –IN OUT

***G1 = VCCS WITH 120 dB OPEN_LOOP_GAIN***

G1 0 7 0 6 1E6

R1 4 3 994.7

R2 7 4 9.95K

R3 6 4 26.93K

C1 0 4 1N

C2 7 6 10P

EIN_STAGE 3 0 +IN –IN 1

***E2 = OUTPUT BUFFER***

E2 9 0 7 0 1

***OUTPUT RESISTANCE = 2 Ω***

RO OUT 9 2

.END

圖14. 采用MFB濾波器的10倍增益放大器仿真電路

結束語
對于高帶寬放大器，與利用s域（拉普拉斯變換）傳遞函數相比，利用模擬元件構建SPICE模型能夠提供快得多的時域仿真。Sallen-Key和MFB低通濾波器拓撲提供了一種將s域傳遞函數轉換為電阻、電容和壓控電流源的方法。

MFB拓撲的非理想操作來源于 C₁ 和 C₂ 在高頻時表現為相對于電阻R₁、 R₂和R₃的阻抗短路。同樣，Sallen-Key拓撲的非理想操作來源于C₁ 和 C₂ 在高頻時表現為相對于電阻 R₁ 和 R₂的阻抗短路。這兩種拓撲的對比如圖15所示。

現有常用于CMRR、PSRR、失調電壓、電源電流、頻譜噪聲、輸入/輸出限幅及其它參數的電路可以與該模型合并，如圖16所示。

圖15. Sallen-Key和MFB拓撲的波特圖

圖16. 包括誤差項的完整SPICE放大器模型