在船舶通信中，船隊會組成鏈式隊列進行航行。船隊傳遞消息可以從一艘船接力傳遞給下一艘船，每艘船需要準確分離接收自己所需的消息，組成一種多目標鏈式級聯網絡。每一艘船既是消息的接收方，又是傳遞消息的中繼方。對于這種單一信源多個信宿所組成的鏈式級聯通信網絡的容量、可實現速率等問題，學術界研究較少。本文考慮該實際環境，對其中的單源雙宿兩跳級聯網絡進行研究。

        無線網絡信道容量的問題最早源于參考文獻[1]提出的多用戶信息理論，雖然沒有給出容量表述，但定義了MAC信道；參考文獻[2]對MAC信道提出了一種簡單的描述； 參考文獻[3]首次提出廣播信道模型； 參考文獻[4]針對三終端（或節點）模型定義并研究了中繼信道；參考文獻[5]完善了該理論，雖然結論只針對單源單宿模型，但對于整個網絡信息理論具有重要意義。

        由于物理限制，實際網絡中無線節點無法在全雙工模式下進行同時同頻收發，只能采取半雙工模式。本文將對時分雙工模式下單源雙宿兩跳級聯網絡的容量區域進行研究和分析。

1 系統模型

       考慮圖1的單源雙宿級聯無線網絡，定義信源S向目標D₁和D₂分別傳輸消息x₁和x₂，D₁接收x₁和x₂并解碼分離出x₁后作為中繼R并采用解碼轉發策略將消息x₂轉發給目標D₂，信源S與節點D₂不考慮協作。由于系統采用時分雙工，節點不能同時接收與發送。若消息x₂不為空，則完成一次網絡傳輸需要兩個時隙：

　　時隙1：源S將消息x₁和x₂發送給目標D₁；

　　時隙2：目標D₁作為中繼R傳輸消息x₂給目標D₂。

        假設完成一次完整的傳輸所用時間為1，第一跳時隙長度為t，忽略保護間隔，則第二跳時隙長度為1-t。設每個節點都以滿功率發送消息，第一跳容量為C₁，第二跳容量為C₂。

2 單源雙宿兩跳級聯網絡容量研究

2.1網絡信息論基礎

        定理1 網絡流圖中源節點s發送信息到目的節點t，其流量w的最大值等于所有s與t之間割集容量的最小值，即:

        參考文獻[6]采用構造性證明該定理是可實現的。該定理表明源節點與目的節點之間的最大流量等于其中最小的一個割集流量，這就是最大流-最小割定理。

其中邊割集τ把網絡節點分割成不相交的兩個子集S和S^c，S^c是S的補集，如圖2所示。

        定理2的證明可參考文獻[4]，主要利用費諾不等式和互信息的性質。參考文獻[7]證明了多狀態網絡容量的割集上界。

        圖3為廣播信道的網絡流圖，參考文獻[8]給出了廣播信道容量區的一個簡單外界。

        定理3 廣播信道的任意可達碼率(R₁,R₂)必存在某個分布q(x)，滿足:

        這個邊界表示的正是當兩個譯碼器合作譯碼時可達的最大碼率。對于廣播信道，兩個接收機獨立工作，所以它的可達碼率不會大于合作譯碼所能達到的碼率。

2.2 時分單源雙宿兩跳級聯網絡容量區域外界

        圖1所示的時分單源雙宿兩跳級聯網絡由于中間節點同時要擔負接收和中繼兩項工作，常規級聯網絡模型并不適用于本網絡。根據在第一時隙，源節點需要將多個消息同時傳輸給中間節點，第一跳可以理解為源節點采用廣播信道的方式將多個消息發送給中間節點。該模型可以等價為圖4的形式。

        時隙1:源S利用廣播信道將消息x₁和x₂分別發送給目標D₁和R；

        時隙2:目標R作為中繼節點傳輸信息給目標D₂。

        設D₁接收信號為y₁，D₂接收信號為y₂；傳輸x₁和x₂的速率分別為R₁和R₂，總速率R=R₁+R₂；信道容量分別為C₁和C₂，其中C₁分為C₁₁和C₁₂兩部分，C₁₁用于傳輸x₁，C₁₂用于傳輸x₂。

　　由于采用時分，割集須考慮鏈路激活時間。根據割集定理，可將單源雙宿兩跳級聯網絡分割為：

        割集1：

證明：

        根據式(6)的約束區域，雖然R₂的取值取決于其中的最小值，但為了避免通信資源的浪費，兩跳鏈路上傳輸的關于消息x₂的信息量應保持平衡，即tC₁₂=(1-t)C₁₂，有:

該t值平衡了消息x₂的兩跳發送，同時包含了兩個宿節點各自的信息量權衡，因此它就是最優時間分配系數：

        最后將t_opt代入上界約束條件式(6)中即可得出容量區域外界。

2.3 時分單源雙宿網絡的可實現速率

        根據信息論，點對點傳輸信息的最大可實現速率等于信道容量。參考文獻[7]指出了在多終端級聯網絡下可實現速率：

其中{C₁,C₂,…，C_L}是每一跳的可達速率，也就是該信道的容量。對于雙跳網絡，式(11)可簡化為：

下面分別證明R₁、R₂、R的可實現性：

        (1)只傳輸x₁

        假設S只傳輸x₁，不傳輸x₂，D₁只作為目標存在。C₁全部用來傳輸x₁，C₁₁=C₁，C₁₂=0。代入(7)可得R1的最大可實現速率為:

滿足點對點傳輸可達速率的最大值，因此R₁完全可以實現。

        (2)只傳輸x₂

        假設S只傳輸x₂，不傳輸x₁，D₁只作為中繼R存在。C₁全部用來傳輸x₂，C₁₁=0，C₁₂=C₁。則代入式(8)得到R₂的最大可實現速率：

符合參考文獻[8]提出的最大可實現速率，R₂的可實現性得證。

        (3)同時傳輸x₁和x₂

        根據式(6)的制約關系，R₁和R₂雖然無法達到單獨傳輸時所能達到的最大速率，但根據式(7)、式(8)有：

        R₁和R₂都受C₁₂影響。調整C₁₂可以使R₁和R₂同時滿足式(7)、式(8)給出的容量最值，又因為R=R₁+R₂，因此式(9)推導的總速率R可實現。

3 分析與討論

        將式(10)的時間分配系數t進行等價變形為：

        根據式(15)，t的取值范圍和變化幅度會隨β變化。這里分別取β={0.5，1，2}三組數據進行分析。選取C₁=10，C₂根據β的選取進行調整,如圖5所示。圖中 t是C₁₂的單調遞減函數，減小速率取決于信道容量比β。β越大，t衰減速度越快，t可取值范圍越寬；β越小，t衰減速率趨于平緩，t可取值范圍相對變窄。

　　容量曲線同樣受β的影響，以β=1為例，選取C₁=C₂=10，如圖6所示。可以看出：(1)R₁隨C₁₂增加，衰減的速度最快；(2)C₁₂取值最大時，即傳輸消息的極限速率R₂就是總速率R的最小可達速率，R的最小速率與β的取值成反比關系。

　　綜合圖(5)和圖(6)有：增大β，消息x₁根據C₁₂的調節將占用更短的時隙,代價是犧牲了總體傳輸速率；減小β，可以提升R的最小傳輸速率，但會增大第一跳傳輸消息時所占用的時隙比例。在實際中，需要綜合其他因素進行取舍，找到適合當前環境下的參數。

        本篇論文依據最大流-最小割定理研究討論了時分雙工單源雙宿兩跳級聯網絡的容量問題。建立了求解處理無線網絡容量外界的有效方法，利用該方法找到了該模型的容量區域外界，并對其可實現性進行了證明。最后進行了分析驗證，揭示了兩個信宿如何有效利用信道資源來完成各自消息的傳輸問題。

參考文獻

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