摘  要： 超分辨率重建通用方法中，圖像分解后對(duì)應(yīng)小波基只能有效稀疏表示單一成分，往往只側(cè)重邊緣成分而忽略了光滑成分等。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文改進(jìn)了一種基于壓縮感知的聲納圖像超分辨率重建算法。該算法基于三種不同稀疏字典小波變換模型，運(yùn)用一種基于K-均值聚類算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法，并采用Newton-Raphson法進(jìn)行迭代算法處理，實(shí)現(xiàn)聲納圖像壓縮感知的超分辨率重建。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了此種算法的可行性和有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法獲得的超分辨率圖像能夠很好地重建并保持原圖像的特征，能高效地改善并提高重建質(zhì)量。

　　關(guān)鍵詞： 壓縮感知；超分辨率重建；稀疏字典；K-均值聚類算法；Newton-Raphson迭代法

0 引言

　　聲納圖像技術(shù)以其系統(tǒng)的先進(jìn)、穩(wěn)定、高分辨率、高質(zhì)量等優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域中。而高分辨率的聲納圖像可獲得更全面更充足的水下情況信息，為聲納圖像技術(shù)的應(yīng)用提供更可靠的數(shù)據(jù)。要獲得高分辨率圖像，最直接的辦法是采用高分辨率圖像傳感器。但由于傳感器和光學(xué)器件制造工藝和成本的限制，在很多場(chǎng)合和大規(guī)模部署中很難實(shí)現(xiàn)[1]。

　　超分辨率（Super-resolution，SR）重建即通過(guò)序列低分辨率（Low-resolution，LR）圖像獲得高分辨率（High-resolution，HR）圖像的過(guò)程。近年來(lái)，壓縮感知與圖像處理技術(shù)的融合已成為該領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究對(duì)象，各研究成果層出不窮，取得很大的進(jìn)展。壓縮感知理論指出：利用隨機(jī)測(cè)量矩陣可把一個(gè)稀疏（或可壓縮）的高維信號(hào)投影到低維（相對(duì)于高維）的空間上，并證明了這樣的隨機(jī)投影包含了重建信號(hào)的足夠信息，即利用信號(hào)的稀疏性（或可壓縮性）先驗(yàn)條件，通過(guò)一定的線性或非線性的解碼模型可以以很高的概率重建原始信號(hào)[2]。近年來(lái)，基于字典學(xué)習(xí)方法的圖像重建[3]成為各界學(xué)者研究的主流。

　　本文將壓縮感知中的字典學(xué)習(xí)方法應(yīng)用于聲納圖像超分辨率重建中，改進(jìn)了一種基于壓縮感知多重稀疏表示的聲納圖像超分辨率重建方法。該方法針對(duì)聲納圖像所包含的光滑、邊緣和紋理這三種形態(tài)信息特點(diǎn)，分別建立符合類內(nèi)強(qiáng)稀疏且類間強(qiáng)不相干的過(guò)完備稀疏字典，并在傳統(tǒng)字典學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用一種基于K-均值聚類算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法，且采用Newton-Raphson迭代算法快速求解交替迭代的運(yùn)算過(guò)程。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在聲納圖像重建中的可行性與有效性。

1 超分辨率模型、稀疏字典及重建

　　1.1 超分辨率模型

　　低分辨率圖像由高分辨率圖像經(jīng)過(guò)相對(duì)運(yùn)動(dòng)、光學(xué)模糊、下采樣或添加噪聲等處理得到。具體在實(shí)際應(yīng)用中表現(xiàn)為數(shù)字圖像采集處理過(guò)程中的圖像分辨率的下降，其主要現(xiàn)象為圖像模糊、噪聲與變形。

　　設(shè)第N幀低分辨率圖像序列為{Vk|k=1，…，N}，每幀中的圖像大小為：L=I1×I2。利用超分辨率圖像重建，擬獲得大小為M=r1I1×r2I2的高分辨率圖像I，其中，r1、r2分別表示水平和垂直方向的分辨率提高因子，則超分辨率的通用退化數(shù)學(xué)模型[4]表示為：

　　其中，Vk∈RL表示第k幀低分辨率圖像，Ik∈RM表示原高分辨率圖像，Hk表示Vk相對(duì)于I的運(yùn)動(dòng)變形矩陣，Bk表示光學(xué)模糊矩陣，Dk表示下采樣矩陣，是系統(tǒng)引入的加性且均值為零的高斯白噪聲。

　　1.2 稀疏字典

　　字典學(xué)習(xí)是通過(guò)稀疏表示來(lái)尋找最優(yōu)基結(jié)構(gòu)的過(guò)程，匹配且合適的字典可滿足稀疏表示的各類約束，也能使信號(hào)獲得更為精確的表示。字典學(xué)習(xí)主要包含兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：稀疏編碼與字典更新。是否能夠選取匹配的過(guò)完備字典與信號(hào)的稀疏性息息相關(guān)。通過(guò)訓(xùn)練樣本來(lái)構(gòu)建過(guò)完備字典從而確保信號(hào)稀疏性，是通用字典學(xué)習(xí)的算法之一。

　　1.3 壓縮感知超分辨率重建

　　參考文獻(xiàn)[5]提出了一種使用成分稀疏表示來(lái)實(shí)現(xiàn)超分辨率的方法，該方法在進(jìn)行超分辨重建時(shí)，提取圖像中的卡通成分和紋理成分，接著用兩種不同的小波基對(duì)各自成分進(jìn)行壓縮感知。然而，基于形態(tài)學(xué)分析的圖像，其卡通成分通常被分解為光滑成分和邊緣成分，而一種小波基只能有效地稀疏表示一種成分，一般情況下只側(cè)重邊緣成分而忽略了光滑成分。但對(duì)于聲納圖像來(lái)說(shuō)，噪聲在一定程度上影響了其成像效果，因此對(duì)聲納圖像的光滑成分的研究對(duì)于超分辨率重建也起著重要的作用。

　　根據(jù)Meyer提出的卡通紋模式圖像分解模型[6]，圖像分解成光滑、邊緣、紋理三種結(jié)構(gòu)形態(tài)后，選用不同的過(guò)完備字典稀疏來(lái)表示每個(gè)成分。所選用的字典應(yīng)盡可能匹配各部分的結(jié)構(gòu)形態(tài)，且各成分的字典需保持類內(nèi)強(qiáng)稀疏、類間不相干的特性。因此，根據(jù)離散平穩(wěn)小波變換（Discrete Stationary Wavelet Transform，DSWT）[7-8]、輪廓小波變換[9]即塔型方向?yàn)V波器組（Pyramidal Directional Filter Bank，PDFB）、伽柏小波變換[10]建立對(duì)應(yīng)稀疏字典。設(shè)圖像I的光滑成分、邊緣成分、紋理成分分別為Is、Ie和It，其對(duì)應(yīng)的三個(gè)類內(nèi)強(qiáng)稀疏且類間不相干的過(guò)完備字典為。

　　對(duì)于圖像I，在過(guò)完備字典的作用下，其壓縮感知稀疏表示為：

　　根據(jù)超分辨率退化模型，基于壓縮感知的退化模型可表示為：

　　而超分辨率圖像的重建是上述過(guò)程的逆過(guò)程，其過(guò)程表示為，則超分辨率圖像可表示為：

　　圖像I的光滑、邊緣、紋理三個(gè)成分分別為Is、Ie和It，對(duì)應(yīng)三個(gè)類內(nèi)強(qiáng)稀疏且類間不相干的過(guò)完備字典為，可得圖像壓縮感知超分辨率退化模型如下：

　　運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法可求解壓縮感知稀疏表示退化模型，得：

　　其中，是用來(lái)平衡各部分比重的參數(shù)，其能夠控制誤差和稀疏性之間的平衡，而迭代過(guò)程中的方程模型可看做三個(gè)非線性凸優(yōu)化問(wèn)題，即可通過(guò)基追蹤去噪法對(duì)其進(jìn)行求解。

　　上述過(guò)程的逆過(guò)程為超分辨率圖像的重建，則超分辨率圖像的獲得可表示為：

2 基于壓縮感知的聲納圖像超分辨率重建算法設(shè)計(jì)

　　基于壓縮感知聲納圖像超分辨率重建算法首先對(duì)原始圖像進(jìn)行K-均值聚類算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練，得到光滑、邊緣、紋理成分對(duì)應(yīng)的過(guò)完備字典，然后運(yùn)用Newton-Raphson迭代法求解圖像退化模型中各成分的系數(shù)，最后通過(guò)超分辨率重建，獲得重建圖像。

　　2.1 本文基于壓縮感知的聲納圖像超分辨率重建算法實(shí)現(xiàn)

　　本文分別建立三個(gè)符合類內(nèi)強(qiáng)稀疏且類間強(qiáng)不相干的過(guò)完備稀疏字典，運(yùn)用一種基于K-均值聚類算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法，并采用Newton-Raphson迭代算法快速求解迭代過(guò)程，最后選取各數(shù)據(jù)重建聲納圖像。

　　基于壓縮感知的聲納圖像超分辨率重建框圖如圖1所示。

　　綜合算法步驟如下：

　　（1）輸入原始圖像I，圖像維度M，平衡參數(shù)，迭代閾值N。

　　（2）對(duì)參數(shù)進(jìn)行初始化設(shè)置：設(shè)光滑部分系數(shù)為，邊緣部分系數(shù)，紋理部分系數(shù)為。

　　（3）運(yùn)用基于K-均值聚類算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法獲得光滑、邊緣、紋理成分對(duì)應(yīng)的過(guò)完備字典

　　（4）運(yùn)用Newton-Raphson迭代法稀疏表示退化模型中光滑、邊緣、紋理成分的系數(shù)。

　　（5）輸出

　　2.2 本文K-均值聚類算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練算法的設(shè)計(jì)

　　字典訓(xùn)練方法有很多，如最大似然法、最優(yōu)方向法、最大后驗(yàn)法等，而結(jié)構(gòu)化的字典訓(xùn)練可以反映數(shù)據(jù)中隱藏的結(jié)構(gòu)，并構(gòu)造結(jié)構(gòu)化字典，從而提高稀疏表示的精度。

　　運(yùn)用一種基于K-均值聚類算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法作為綜合算法獲得各過(guò)完備字典的第一步。將字典中的原子平均分配到K個(gè)聚類中，并利用原子聚類索引計(jì)算得出拉普拉斯矩陣L，從而進(jìn)一步利用GOMP算法[11]最后得到結(jié)構(gòu)化過(guò)完備字典?鬃。

　　整個(gè)過(guò)完備字典訓(xùn)練過(guò)程算法如下：

　　（1）輸入光滑成分對(duì)應(yīng)初始過(guò)完備字典，聚類數(shù)Z，訓(xùn)練樣本Ys，迭代閾值N0，正則化參數(shù)λs；

　　（2）對(duì)參數(shù)進(jìn)行初始化設(shè)置：設(shè)迭代次數(shù)n=1，聚類中心矩陣，J=1；

　　（3）將字典中的原子dj分到與聚類中心最相似的Z個(gè)聚類集合中，并通過(guò)對(duì)矩陣的第z列更新，其中，

　　聚類集合可表示為：

　　（4）J=J+1；循環(huán)（3）~（5）步，獲得穩(wěn)定聚類原子索引；

　　（5）根據(jù)原子索引d計(jì)算權(quán)重矩陣Ws、對(duì)角矩陣Cs及拉普拉斯矩陣Ls，并根據(jù)GOMP算法求出稀疏表示系數(shù)，最后更新字典，其過(guò)程為：

　　（6）n=n+1；循環(huán)（3）~（6）步至滿足停止條件；

　　（7）輸出光滑成分對(duì)應(yīng)的過(guò)完備字典。

　　同理，運(yùn)用該結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法獲得邊緣成分及紋理成分對(duì)應(yīng)的過(guò)完備字典和

　　2.3 結(jié)合Newton-Raphson迭代算法流程

　　（1）根據(jù)式（5），恒定Ie、It，更新Is，計(jì)算，具體表達(dá)式為：

　　（2）同理，在恒定Is、It的條件下更新Ie，計(jì)算；在恒定Is、Ie的條件下更新It，計(jì)算；

　　（3）n=n+1；循環(huán)迭代直至滿足閾值N時(shí)迭代停止。

　　（4）輸出

3 仿真結(jié)果及分析

　　設(shè)圖像維度為M，則選取：選擇像素為256×256的原始高分辨率圖像I，經(jīng)過(guò)水平、垂直方向平移、高斯模糊、2倍率下采樣及方差為15的高斯白噪聲退化，生成128×128的低分辨率圖像。原始高分辨率圖像和退化后低分辨率圖像如圖2所示。

　　平衡參數(shù)rs=re=rt選取值為10，噪聲方差為15時(shí)，分別用MSRSR法、未使用基于K-均值聚類算法的結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練一般方法及本文方法對(duì)圖像L進(jìn)行超分辨率重建。各方法重建效果如圖3所示。

　　噪聲方差為15時(shí)，重建結(jié)果的峰值信噪比變化函數(shù)及峰值信噪比的相對(duì)誤差變化曲線如圖4所示。

　　由圖4可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，峰值信噪比值先上升直至趨于平穩(wěn)，相對(duì)誤差值先下降直至趨于平穩(wěn)。因此，為達(dá)到更好的實(shí)驗(yàn)效果，選取停止參數(shù)N>相對(duì)誤差值時(shí)迭代停止。多次實(shí)驗(yàn)表明，10-4≤N≤10-3時(shí)，可得到較好的重建效果。因此，在重建實(shí)驗(yàn)中選取N=10-3。

　　實(shí)驗(yàn)中，在不同噪聲方差的條件下分別使用MSRSR、一般字典訓(xùn)練重建法及本文方法來(lái)觀察聲納圖像重建的效果。具體比較結(jié)果如表1。

　　實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，三種方法都具有較好的重建效果。MSRSR法所得的峰值信噪比值略小于本文算法，而一般字典訓(xùn)練重建法的峰值信噪比與本文算法結(jié)果近似。但MSRSR方法更易受噪聲影響，且由于稀疏字典與各成分匹配需要一定時(shí)間，因而本文算法的運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)于MSRSR法；一般字典訓(xùn)練重建法運(yùn)算時(shí)間較本文算法略大。即t一般字典訓(xùn)練法>t本文方法>tMSRSR。

4 結(jié)論

　　本文把壓縮感知的方法運(yùn)用到聲納圖像超分辨率重建中，著重研究了超分辨率模型三種稀疏字典的建立，并結(jié)合K-均值聚類結(jié)構(gòu)化字典訓(xùn)練法訓(xùn)練稀疏字典，最后采用Newton-Raphson迭代法求解圖像退化模型中各成分的系數(shù)，代入超分辨率重建模型算法實(shí)現(xiàn)重建。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該改進(jìn)的基于壓縮感知的超分辨率圖像重建綜合算法與傳統(tǒng)的重建算法相比較，重建質(zhì)量與效果在各個(gè)方面都有了較大的改善。

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