王妃,熊繼平,蔡麗桑

　　（浙江師范大學 數理與信息工程學院，浙江 金華 321004）

　　摘要：壓縮感知" title="單比特壓縮感知" target="_blank">單比特壓縮感知是量化壓縮感知的極限形式，該方法采集的是觀測值的符號，僅需要1個比特單元來記錄這個值，因此在硬件實施上成本低，運行速度快。目前，單比特壓縮感知技術已經成為一個研究熱點。本文首先介紹了單比特壓縮感知的發展和研究現狀，然后從檢測和不檢測觀測符號兩個方面對重構算法進行了分析，接著從單比特壓縮感知的成像領域、無線傳感器網絡領域、醫學圖像領域和信號傳輸領域四個應用領域進行分析，最后對單比特壓縮感知技術進行了總結和展望。

　　關鍵詞：單比特壓縮感知；壓縮感知；重構算法；應用

0引言

　　壓縮感知是一種新興的采集、處理信號的理論。該理論表明，通過采集少量的測量值就可以實現精確重構稀疏或可壓縮信號。在這一過程中使用了隨機化、線性、非自適應測量，然后通過非線性的方法恢復原始信號。

　　在實際應用中，壓縮傳感的測量值必須量化，這是數字化的必經階段。量化是一個不可逆的過程，不可避免地引入了量化誤差。處理量化誤差的方法之一是把它當作加性測量噪聲，并采用適當的重構算法減小其影響。除此之外，一個恰當的測量模型可以明顯改善量化對恢復效果的影響。在壓縮感知的體系中，文獻［1］首次詳細地描述了量化框架。

　　研究表明，當測量值量化至一個比特，即只用一位二進制數來表示測量值的符號時，仍然可以精確、穩定地恢復原始信號［1］。這一特性在實際應用中有很多好處：

　　（1)大大減少了傳輸和存儲過程中所需的比特數。許多場合的優化目標是減少總的比特數，而不僅僅是總的測量數。

　　（2)一比特量化器可以用一個簡單、高速的比較器實現。因此，降低采樣復雜度可以通過減少表示每個測量值的比特數，而不是測量數來實現。

　　（3)一比特量化對非線性失真不敏感，魯棒性能好。

1單比特壓縮感知

　　2008年，Petros T.Boufounos 第一次系統地闡述了壓縮感知體系中的一個全新的測量模型［1］——單比特壓縮感知模型。

　　在單比特壓縮感知中，觀測得到的測量值被量化到單比特，即只用一個二進制比特位來表示測量值大于零還是小于零，然后從這些正負號中恢復原信號。實驗結果表明，在能量限定的條件下，僅僅依靠測量值的符號，就可以完全恢復出原始信號［1］。

　　后來，Laurent Jacques等人在2011年對單比特壓縮感知從數學上進行了證明，奠定了單比特壓縮傳感的理論基礎。

　　2013年Jacques等人提出了單比特壓縮感知的理論框架，主要得到了兩個結論：（1）在無噪聲情況下單比特壓縮感知的重構誤差界。（2）通過構造“二值ε穩定嵌入”（Binary εStable Embeddings, BεSE）,證明了當觀測矩陣Φ滿足類似RIP的特點性質時，即使觀測噪聲使得觀測符號發生了變化，該重構方法仍然穩定。

　　1.1壓縮感知

　　假設一長度為N的實信號x，如果它是K稀疏的，即至多有K個元素非零，那么該向量可以通過包含它的M<<N個線性投影的測量向量y獲得精確重構，即

　　y=Φx

　　上式中，Φ是M×N維測量矩陣。

　　信號稀疏恢復可通過如下問題求解：

　　=argminx0且y=Φx

　　上式中，*0表示非零元素的個數，可以稱為l0范數。然而求解最小化l0范數問題是一個NP難問題，可以考慮運用基于最小化l1范數的等價凸優化模型：

　　=argminx1s.t. y=Φx

　　限制等容量條件（Restricted Isometry Property, RIP）為利用上式重構信號提高了理論保證。

　　定義1（限制等容量條件）稱一測量矩陣Φ滿足具有參數（K,δ），δ∈(0,1)的限制等容量條件（RIP），如果對所有的K稀疏向量x，有下列式子成立：

　　(1－δ)x22≤Φx22≤(1+δ)x22

　　凸優化是一種有效的壓縮感知恢復方法，除此之外，還有其他一些恢復算法，貪婪追蹤算法就是最常用的一種。RIP條件也為貪婪追蹤算法恢復信號提供了理論保證。

　　1.2單比特壓縮感知

　　在單比特壓縮感知中，測量值量化至單比特，即只保留測量值的符號：

　　y=sign(Φx)

　　上式中，sign(yi)=yi/|yi|。由于每個測量值只用了一個比特，所以M不僅是測量值個數，還是獲得的比特個數。為了獲得更好的恢復效果，可以取更多的比特數，甚至多于信號的長度N，此時的M/N可認為是原信號的“比特數/系數”。

　　可以利用一致性恢復概念重構信號，因此，單比特壓縮感知要解決以下問題：

　　=argminx0且ys=sign(Φx)

　　然而求解最小化l0范數問題也是一個NP難問題，因此可以利用等價的l1范數并通過凸優化方法實現一致性恢復，從而重構出信號。

　　2基于單比特壓縮感知的重構算法

　　本文對基于單比特壓縮感知的重構算法進行了調查研究并總結。從單比特壓縮感知的重構算法的發展來看，算法大致可以分為兩個大類。

　　（1）不檢測觀測符號翻轉情況的重構算法

　　文獻［1］中提出了單比特壓縮感知的概念，并提出一種單比特壓縮感知的重構算法——1bit FPC算法，并利用此算法進行了仿真實驗。實驗結果表明，在僅知道測量值符號的情況下，此算法仍能準確地恢復出原始信號。

　　文獻［2］中提出一個名為Soft Consistency Reconstructions（SCRs）的新算法。該算法是基于一致性標準的軟決策方法，而且優于BIHT算法。該算法不需要噪聲的先驗知識，即不管有無噪聲的情況下都能夠精確地重構出原始信號。

　　由于文獻［2］中的算法并不能保證得出的解為全局最優解，所以，文獻［3］提出了一種基于CoSamp的匹配符號追蹤算法——Matching Sign Pursuit（MSP）, 這種方法在稀疏度K已知的情況下重構信號。該算法通過貪婪迭代算法，不斷尋找包含原始信號支撐集的指標集，進而求解一個小規模的優化問題，最終獲得重構信號。實驗證明，對于恢復單位長度的稀疏信號，該方法無論是重構誤差還是符號一致性，都明顯優于FPC和CoSamp。但是，在含有噪聲時，該算法卻不能精確地重構出原始信號。

　　文獻［4］提出了一種新的算法——Restricted Step Shrinkage。這個算法的收斂性在數學上可以得到證明，并且優于MSP算法，擁有更好的抗噪聲性能。這是一種類似于置信域的凸優化算法，且該算法的收斂性不依賴于初始值的選取。

　　(2)檢測觀測符號翻轉位置的重構算法

　　在單比特壓縮感知中，如果有一個觀測符號發生翻轉，那么這個觀測符號將會對整個重構過程帶來較大的影響，如果能探測到發生翻轉的觀測符號，那么就能更正它們，從而大幅度提高重構精確度。

　　針對上述問題，文獻［5］提出了一種穩定的單比特壓縮感知方法自適應異常值追蹤——Adaptive Outlier Pursuit（AOP）。該算法在稀疏度K已知的情況下，能夠探測到符號翻轉，并且當發生大量觀測符號翻轉時，能夠以很高的精確度恢復信號。AOP的原理與傳統壓縮感知中處理脈沖噪聲類似，通過一系列的迭代過程自適應地探測符號翻轉位置，同時不斷地更新觀測符號，求相應子優化問題的解，直到收斂。然而，在稀疏度K未知的情況下，AOP的表現不穩定。

　　基于上述問題，文獻［6］提出了一種全新的重構算法NARFPI。該方法與AOP不同之處在于：NARFPI方法在子優化問題的罰函數中添加了l1范數，以加強其稀疏性。該方法對觀測符號翻轉的表現穩定，更重要的是不需要稀疏度K的先驗知識。

　　文獻［7］中針對許多觀測符號同時發生翻轉的情況，提出了一種新的算法——Robust Binary Iterative Threshold（RBIHT）。此算法通過計算不一致符號的數量，可檢測出符號翻轉的位置，從而通過“corrected”測量矩陣重構原始信號。該算法不需要關于噪聲的先驗知識，在測量噪聲和傳輸噪聲同時存在的情況下，也能擁有較高的精確度。

　　文獻［8］中提出了NARSS（NoiseAdaptive Restricted Step Shrinkage)算法。在稀疏度K未知、時間是變量和二進制測量矩陣存在噪聲的情況下，此算法都有很好的表現。在重構表現、算法的復雜度和算法的收斂速度等方面，與其他的算法相比，該算法都有一定的優勢。

3單比特壓縮感知的應用

　　單比特壓縮感知技術的應用領域比較廣泛［9］，本文對此進行了分析與總結。

　　（1）成像領域

　　文獻［10］中，在合成孔徑雷達成像（SAR）領域中使用了單比特壓縮感知技術。在最大后驗估計的框架中［11］，作者提出了SAR圖像重構問題，并且此問題在運用了單比特壓縮感知技術后得到了很好的解決［12］。實驗結果證明，此種方法可以提高信號重構算法的信噪比，同時可以有效地抑制噪聲的影響。

　　（2）無線傳感網絡領域

　　文獻［11］中，將單比特壓縮感知技術運用于無線傳感網絡的數據收集。在此文中，作者還提出了一種新穎的算法——Blind 1bit CS。在WSN的環境中，該算法與其他算法相比擁有一定的優勢。在真實的傳感數據庫中進行實驗后，發現此算法效率很高，且能夠大幅度地減少每個傳感節點的負擔，從而提高工作效率。

　　（3）醫學圖像領域

　　臨床醫學上可通過EEG（腦電圖）檢查進行腦部診斷，而EEG可以通過單比特壓縮感知技術獲得。文獻［13］中，在單比特壓縮感知的基礎上建立了一個全新的模擬信息轉換器的體系結構，用于醫學上的EEG檢查。實驗結果證明，這個新結構能提高EEG的效率和質量。

　　（4）信號傳輸領域

　　文獻［14］中，在單比特壓縮感知的基礎上建立了一個名為Turbo CS 的編解碼模型用于信號的傳輸，Turbo CS是迭代方法的一種。本文是在高斯白噪聲信道的環境下進行傳輸信號實驗的，結果證明Turbo CS的抗噪聲性能強，重構精確度高。

　　總的來說，關于單比特壓縮感知應用研究的論文并不是很多。

4總結

　　目前單比特壓縮感知算法的研究較多，但是還存在繼續研究的空間。比如，高信噪比和高精確度同時擁有并且不需要稀疏度K的先驗知識，這樣的算法較少。而且對單比特壓縮感知技術的應用領域的研究并不多，因此，此應用領域的研究可能是將來的一個重要研究方向。

參考文獻

　　［1］ BOUFOUNOS P T, BARANIUK R G. 1bit compressive sensing［C］. Proc 42nd Annual Conference on Information Sciences and Systems (CISS), Princeton NJ, 2008:1621.

　　［2］ Cai Xiao, Zhang Zhaoyang, Zhang Huazi, et al. Soft consistency reconstruction: a robust 1bit compressive sensing algorithm［C］. Communication (ICC), 2014 IEEE International Conference on, 10.1109/ICC, 2014: 45304535.

　　［3］ BOUFOUNOS P. Greedy sparse signal reconstruction from sign measurements［C］. Proc. Asilomar Conf. on Signals Systems and Comput, California, 2009:13055301.

　　［4］ LASKA J N, WEN Z, YIN W, et al. Trust, but verify: fast and accurate signal recovery from 1bit compressive measurements［J］. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(11):52895301.

　　［5］ YAN M, YANG Y, OSHER S. Robust 1bit compressive sensing using adaptive outlier pursuit［C］. IEEE Transactions on Signal Processing, July, 2012, 2012:60(7):38683875.

　　［6］ MOVAHED A, PANAHI A, DURISI G. A robust RFPIbased 1bit compressive sensing reconstruction algorithm ［C］. Information Theory Workshop (ITW), 2012 IEEE,2012: 567571.

　　［7］ FU X, HAN F M, ZOU H. Robust 1bit compressive sensing against sign flips［C］. Global Communications Conference (GLOBECOM), 2014 IEEE, 10.1109/ GLOCOM. 2014:31213125.

　　［8］ MOVAHED A, PANAHI A, REED M C. Recovering signal with variable scarcity levels from the noisy 1bit compressive measurements［C］. Acoustics, Speech and Signal Processing, 2014 IEEE International Conference on, 10/1109/ICASSP. 2014:64546458.

　　［9］ DONG X, ZHANG Y. A map approach for 1bit compressive sensing in synthetic aperture radar imaging［J］. IEEE Geosciences and Remote Sensing Letters， 2015，12（6）: 12371241.

　　［10］ CHEN C, WU J. Amplitudeaided 1bit compressive sensing over noisy wireless sensor networks［J］. IEEE, Wireless Communications Letters, 2015，4（5）: 473476.

　　［11］ 宋萬均,張安堂.雙基地雷達目標速度計算的FPGA實現［J］.電子技術應用,2014,40(1):4749,52.

　　［12］ 查宣威,岑峰.DC恢復算法及其在圖像壓縮編碼中的應用［J］.微型機與應用,2013,32(1):3739.

　　［13］ HABOBA J, MANGIA M, ROVATTI R, et al. An architecture for 1bit localized compressive sensing with applications to EEG［C］. Biomedical Circuits and Systems Conference (BioCAS), IEEE,2011: 137140.

　　［14］ MOVAHED A, REED M C. Iterative detection for compressive sensing: Turbo CS［C］. Communications (ICC), IEEE International Conference on. 2014: 45184523.