朱艷平

　　（信陽農林學院 信息工程學院，河南 信陽 464000）

　　摘要：混沌系統在圖像和視頻加密方面的應用研究日益增多。為了篩選出更適合應用于信息加密的混沌系統，對一維Logistic系統、四維廣義Henon系統、三維Lorenz系統、三維Rossler系統、四維Chen系統和四維CNN系統的混沌動力學行為特性進行比較，并提出密鑰變化率的計算方法，以此為指標來衡量各混沌系統的密鑰敏感性。仿真實驗結果表明，CNN系統表現出更為優越的混沌動力學行為特性，更適合應用于信息加密系統中。

　　關鍵詞：混沌系統；性能比較；自相關性；互相關性；密鑰變化率

　　0引言

　　在網絡帶給人們便利的同時，人們越來越重視信息的安全性。隨著圖像、語音和視頻應用范圍的不斷擴大，傳統的加密方法已不能滿足信息加密的需求，于是混沌加密逐漸成為研究的熱點［1］。

　　混沌系統由于其遍歷性、內隨機性、分形結構、對初始值的敏感性、軌道不穩定性以及長期不可預測性等特點，使其更適合應用于加密系統中［24］。目前應用于信息加密的混沌系統有很多，本文從混沌吸引子、混沌信號、自相關性、互相關性、密鑰敏感性和密鑰空間六個方面對各種混沌系統的動力學行為特性進行比較，從而篩選出更適合應用于信息加密的混沌系統。

1各混沌系統數學模型

　　Logistic 系統的方程如式(1)所示［5］，當3.569 946…≤u≤4時，該系統處于混沌狀態，這里取u=3.9。

　　xn+1=uxn(1－xn)x0∈(0,1)u∈(0,4］(1)

　　四維廣義Henon混沌映射的數學模型如式(2)所示［1］，其中a=1.76，b=0.1時，該系統處于超混沌狀態。

　　x1(k+1)=a－x3(k)2－bx4(k)

　　x2(k+1)=x1(k)

　　x3(k+1)=x2(k)

　　x4(k+1)=x3(k)(2)

　　Lorenz混沌系統的微分方程如式(3)所示［6］，當σ=10，ρ=28，β=8/3時，該系統進入混沌狀態。

　　=－σx+σy

　　=ρx－y－xz

　　=－βz+xy(3)

　　Rossler系統的微分方程如式(4)所示［2］，當a=b=0.2，c在4.2與9之間時，該系統處于混沌狀態，這里取c=5。

　　=－y－z

　　=x+ay

　　=b+z(x－c)(4)

　　四維超混沌Chen系統的數學模型如式(5)所示 ［7］ ，當a=35，b=7，c=12，d=3，0.085≤γ≤0.789時，該系統為超混沌系統，這里γ的取值為0.5。

　　1=a(x2－x1)+x4

　　2=bx1－x1x3+cx4

　　3=x1x2－dx3

　　4=x2x3+γx4(5)

　　選擇合適的模板參數，四維CNN超混沌系統的數學模型如式(6)所示［8］：

　　1=－x3－x4

　　2=2x2+x3

　　3=12x1－13x2

　　4=96x1－90x4+198f(x4)(6)

2各混沌系統動力學行為特性比較

　　2.1混沌吸引子

　　上述六種系統均可產生混沌吸引子，均為混沌系統，其中四維Henon系統、四維Chen系統和四維CNN系統為超混沌系統，此處不再贅述。

　　2.2混沌信號

　　以混沌信號x1為例，各系統所產生的混沌信號如圖1所示，其中Logistic系統的混沌信號如圖1(a)所示， Henon系統的混沌信號如圖1(b)所示，Lorenz系統的混沌信號如圖1(c)所示，Rossler系統的混沌信號如圖1(d)所示，Chen系統的混沌信號如圖1(e)所示，CNN系統的混沌信號如圖1(f)所示。

　　圖1各系統所產生的混沌信號從圖1可以看出，Logistic系統和Henon系統所產生的混沌信號呈現勻均分布的態勢，而Lorenz系統、Rossler系統、Chen系統和CNN系統所產生的混沌信號隨機特性不強，呈現局部現行化特點，容易受AR 模型預測和相空間重構法的攻擊。為了解決該問題，參考文獻［9］采用公式（7）對混沌信號進行處理，使其變成均勻分布。其中si為原始的混沌信號，s*i為處理后的混沌信號，round表示四舍五入取整操作。

　　s*i=si×102－round(si×102)(7)

　　2.3自相關性

　　以信號x1為例進行仿真研究，實驗結果表明：Logistic系統x1的自相關性在0.33~0.37的范圍內趨近于0；Henon系統在0~0.4的范圍內趨近于0；Lorenz系統在-20~40的范圍內趨近于0；Rossler系統在-14~14的范圍內趨近于0；Chen系統在-20~20的范圍內趨近于0；CNN系統在-0.75~0.9的范圍內趨近于0。故各混沌系統的自相關性從優到劣的順利為：Logistic系統、Henon系統、CNN系統、Rossler系統、Chen系統和Lorenz系統。

　　2.4互相關性

　　以信號x1和x2為例進行仿真研究，實驗結果表明：由于Logistic系統只有一路混沌信號，故無法對混沌信號的互相關性進行分析。Henon系統x1和x2的互相關性在0~0.4的范圍內趨近于0；Lorenz系統在-20~40的范圍內趨近于0；Rossler系統在-14~14的范圍內趨近于0；Chen系統在-20~20的范圍內趨近于0；CNN系統在-0.5~0.5的范圍內趨近于0。故各混沌系統的互相關性從優到劣的順序為： Henon系統、CNN系統、Rossler系統、Chen系統和Lorenz系統。

　　2.5密鑰敏感性

　　密鑰敏感性分為初始值密鑰敏感性和模板參數密鑰敏感性。以密鑰變化率KCR(Key Change Rate)為指標對各混沌系統的密鑰敏感性進行分析，按下式計算密鑰的變化率：

　　KCR=∑ki=1Dif(key(i),key′(i))k

　　Dif(key(i),key′(i))=0key(i)=key′(i)

　　1key(i)≠key′(i)(8)

　　上式中的key(i)表示原密鑰所生成的第i個混沌序列值，key′(i)表示將原密鑰作微小的改變后所生成的第i個混沌序列值，k表示所生成的混沌序列值的個數。KCR的值越大，表示該系統的密鑰敏感性越強，反之越弱。將各混沌系統的各個初始值密鑰作微小的改變，使其相差10-16，取24 000*n個混沌值進行計算，所得的密鑰變化率如表1所示，其中n為混沌系統的維數。

　　從表1可以看出，各混沌系統的初始值密鑰敏感性從優到劣的順序為：Chen系統、CNN系統、Lorenz系統、Rossler系統、Logistic系統和Henon系統。模板參數密鑰敏感性分析與此類似，此處不再贅述。

　　2.6密鑰空間

　　若計算機浮點數的實現精度為16位有效數字，則各混沌系統的密鑰空間如下：一維Logistic系統為1032，四維Henon系統為1096，三維Lorenz系統為1096，三維Rossler系統為1096，四維Chen系統為10144，四維CNN系統為10640。從以上數據可知，四維CNN系統的密鑰空間最大，一維Logistic系統的密鑰空間最小。

3結論

　　本文從混沌吸引子、混沌信號、自相關性、互相關性、密鑰敏感性和密鑰空間六個方面對各混沌系統的動力學行為特性進行比較。從仿真實驗結果可知，CNN系統具有密鑰空間最大、密鑰敏感性強、自相關性和互相關性較好的優點，缺點是混沌信號不能呈現均勻分布，但可采用參考文獻［9］的方法進行處理，以彌補其不足。綜合分析，CNN超混沌系統表現出良好的混沌動力學行為特征，更適合應用于混沌加密系統中。

參考文獻

　　［1］ 趙國敏, 李國東. 基于廣義Henon映射以及CNN超混沌系統圖像加密方案［J］. 信陽師范學院學報（自然科學版）, 2015,28(1): 141145.

　　［2］ 徐健楠. 基于混沌系統的圖像加密研究與實現［D］. 錦州: 遼寧工業大學, 2014.

　　［3］ 陳仕坤, 禹思敏. 視頻混沌加密及其FPGA實現［J］. 電子技術應用, 2015,41(1): 111114.

　　［4］ 劉新杰, 李黎明. 基于FTP的圖像混沌加密傳輸技術的實現［J］. 微型機與應用, 2014,33(4): 4749.

　　［5］ BORUJENI S E, EHSANI M S. Modified logistic maps for cryptographic application［J］. Applied Mathematics, 2015,6(5): 773782.

　　［6］ PCHELINTSEV A. N. Numerical and physical modeling of the dynamics of the Lorenz system［J］. Numerical Analysis and Applications, 2014,7(2): 159167.

　　［7］ 李曉飛. 四維Chen 系統耦合改進的S盒的圖像加密算法［J］. 沈陽工程學院學報(自然科學版), 2014,10(1): 7882,85.