摘 要： 當GPS信號發生阻塞時，可見衛星數會不足4顆，這時迭代最小二乘算法（ILS）與普通擴展卡爾曼濾波(EKF)都不再適用。針對這一問題提出了一種改進的EKF算法。該算法利用在垂直地面方向上的位置變化緩慢這一運動特性，建立了改進EKF算法的系統模型。通過理論分析得到了濾波器參數，最后利用真實的GPS衛星數據進行驗證。實驗結果表明，在可見衛星數不少于4顆時，此改進的EKF算法定位精度與普通的EKF算法基本相同；在GPS信號阻塞只有3顆可見衛星時，此改進的EKF算法的定位精度明顯優于普通的EKF算法。
關鍵詞： 擴展卡爾曼濾波; GPS; 信號阻塞; 定位解算
GPS衛星定位解算是根據偽距、偽距增量等測量值，計算接收機的位置P、速度V和時間T等信息的過程。目前GPS實時定位解算中最為常用的兩種方法為迭代最小二乘算法（ILS）和擴展卡爾曼濾波（EKF）。為了準確計算接收機的三維位置以及時間未知數的值，解算過程需要至少4顆衛星的測量信息。但是當GPS信號出現遮擋時，接收機只能接收到3顆衛星的測量信息，解算方程就不夠4個，ILS不再適用。參考文獻[1]引入EKF，利用隨著時間推移的多組數據進行實時定位解算，但定位精度也很難滿足用戶的需求。
為了解決上述問題，本文提出了一種改進的EKF算法。利用在垂直地面方向上的位置變化緩慢這一運動特性，建立了改進EKF算法的系統模型，并通過理論分析得到了濾波器參數，最后利用真實的衛星數據進行驗證。需要特別指出的是，由于本文提出的改進EKF算法利用的是在垂直地面方向上的位置變化緩慢的特征，故而該算法的適用場合為車載等地面用戶的定位解算，不適合在垂直地面方向上高速運動的情形。
1 定位解算的系統模型
衛星定位解算的系統模型包括狀態模型和觀測模型兩部分。令向量yt、xt分別表示系統模型的測量值和系統狀態參量：
1.1 測量模型
系統的測量模型描述了系統測量值與系統狀態參量之間的關系。偽距與系統狀態參量的關系可表示為：
1.2狀態模型
系統的狀態模型描述了系統狀態參量的時間更新過程。由參考文獻[3-4]可知，更新過程的表達式為：
式(9)中的T為采樣時間間隔。
式(8)中的wt表示系統狀態轉移的噪聲模型：
2 改進的EKF
根據第1節中建立的系統模型，系統測量值yt為2參數，系統狀態參量xt為8參數，為了得到準確解，故而需要至少4顆有效衛星的測量值。為了能夠滿足用戶需求的定位精度，本文提出利用一般車輛行人等用戶在垂直地面方向上的位置變化緩慢這一運動特性，增加如下方程：
式(17)中，R1為從用戶在ECEF坐標系下的狀態參量xt到用戶在NED坐標系下的狀態參量mt的轉換矩陣，利用坐標系旋轉的原理可以求得[2]。A2為用戶在NED坐標系下的狀態參量mt的一步轉移矩陣。它們的表達式如下：
綜上所述，并結合參考文獻[5]，得到改進的EKF算法的計算過程如下：
根據理論分析可以得出，改進的EKF相對于普通的EKF來說，增加了一項先驗信息，故而使得只有3顆有效衛星時的定位解算有了4個解算方程，因此可以相對準確地解算出4個未知數的值；而在有效衛星數不少于4顆時，增加的方程(15)仍然滿足，故而也不會影響定位精度。
3 算法仿真和分析
在本文的算法驗證實驗中，使用了Leika GPS1200測量型接收機在車載動態下采集的GPS信號的偽距和偽距增量的測量值，其中偽距測量值經過偽距增量測量值的平滑。算法的驗證是在PC機上使用Matlab完成的。
在算法驗證中，設置采樣時間間隔為T=1 s。接收機的運動狀態為從靜止狀態變化到在地面上高速運動最后又逐步靜止。測試數據長度為2 500 s。參考軌跡是接收機使用動態實時差分(RTK)方法測定的，方差精確至毫米級。分別在有效衛星不少于4顆和只有3顆的情況下，比較了幾種定位解算算法的定位結果。
3.1 有效衛星數不少于4顆時的定位結果
以有效衛星數為4顆為例，分別使用ILS、EKF和改進的EKF算法進行定位，得到以ECEF坐標系下XYZ三維坐標表示的定位結果，如圖1所示。
由圖 1可知，接收機在前400 s時基本保持靜止，然后開始運動至1 600 s，最后逐步靜止至測試結束。三種解算方法都可以較好地進行定位解算。為了更好地分析定位結果，畫出圖 1中的XYZ三維坐標上的定位誤差的均方根，如圖 2所示。
為了更好地比較ILS、普通EKF與改進EKF算法，計算圖 2中三種算法在XYZ三個坐標方向上的定位結果的均方根誤差的平均值，如表1所示。
從圖2和表1可以更清晰地看出，在有效衛星不少于4顆時，三種算法在以ECEF坐標系表示的XYZ方向上的定位誤差的均方根均不超過20 m，平均定位誤差不超過10 m，定位解算精度都很好。其中改進的EKF與普通EKF定位精度相當，而ILS的定位均方根誤差抖動很小。這是因為，每當有新的測量數據時，ILS算法都會經過多次迭代計算直至結果收斂，而EKF與改進的EKF算法均只是利用新息進行一次計算，計算量要遠遠小于ILS，故而定位結果會稍有抖動。
3.2 有效衛星數只有3顆時的定位結果
在有效衛星數只有3顆時，ILS無法進行定位。分別使用普通EKF和改進的EKF算法進行定位，得到在ECEF坐標系下的XYZ三維坐標上的定位結果,如圖 3所示。
為了更好地分析定位結果，畫出圖 3中的XYZ三維坐標上的定位誤差的均方根，如圖 4所示。
為了更好地比較普通EKF算法與改進EKF算法，計算圖 3中兩種算法XYZ三維坐標上的定位結果的均方根誤差的平均值，如表 2所示。
由圖 3、圖 4和表 2可知，在只有3顆有效衛星的情況下，普通EKF的定位結果會出現明顯的偏移，而本文提出的改進的EKF算法的定位結果與參考軌跡擬合得很好，各個方向上的平均定位誤差均不超過10 m，定位精度很好。這說明本文提出的改進EKF算法在只有3顆有效衛星時，極大地提高了EKF的定位精度。與理論結果吻合。
3.3 有效衛星為3顆時改進EKF與有效衛星為4顆時普通EKF 的定位結果
為了進一步分析改進EKF算法的性能，將改進EKF算法在只有3顆有效衛星時的定位誤差與普通EKF算法在有4顆有效衛星時的定位誤差進行比較，如圖 5所示。
計算圖 5中的兩種情況下XYZ三維坐標上的平均誤差的均方根，如表3所示。
由圖 5和表 3可知，在只有3顆有效衛星時，本文提出的改進EKF算法所增加的先驗信息與增加一顆衛星的測量信息的效果基本一致。故而說明在出現GPS信號阻塞的情況下，只有3顆有效衛星時，此改進EKF算法的定位解算精度非常好。
綜上所述，利用實測的衛星數據進行驗證，結果表明：在3顆有效衛星的情況下，在靜止狀態和車載狀態下，改進的EKF算法的定位精度均明顯優于普通的EKF，且與4顆有效衛星時EKF的定位精度相當；在不少于4顆有效衛星的情況下，在靜止狀態和車載狀態下，改進EKF算法的定位精度與普通EKF相當。由此說明，本文提出增加的先驗信息在已有足夠測量信息時，并不會影響定位精度，而只有在3顆有效衛星時，測量信息對于定位精度的改進與一顆有效衛星的測量信息效果基本一致，從而大大提高了EKF算法的魯棒性。
本文在GPS信號出現阻塞，有效衛星數降為只有3顆時，改進EKF算法以提高GPS定位解算精度，并使用真實衛星數據對改進的EKF算法進行了驗證。實驗結果表明，在有效衛星不少于4顆時，本文提出的改進EKF的定位精度與EKF相當。在GPS信號阻塞，有效衛星數只有3顆時，改進EKF的定位精度明顯優于普通EKF，且與4顆有效衛星時EKF的定位精度相當。受本文算法改進中所引入的先驗信息的限制，本文提出的改進EKF算法適合車載等地面運用，不適合在垂直地面方向上高速運動的情形。
參考文獻
[1] COOPER S, DURRANT W H F. A kalman filter model for GPS Navigation of Land Vehicles, IEEE Conference on Intelligent Robots and System(IROS’94),Munich,Germany, 1994(11):12-16.
[2] MISRA P, ENGE P著.全球定位系統——信號、測量與性能(第二版).羅鳴,曹沖,肖雄兵,等譯. 北京：電子工業出版社，2008：103-106.
[3] AGOGINO A, ALAG S, GOEBEL K. Intelligent sensor validation and sensor fusion for reliability and safety enhancement in vehicle control, MOU132, UCB-ITSPRR-95-40, California PATH Ressarch Report, 1995.
[4] KEE C, PARKINSON B W. Wide area differential GPS. Navigation: Journal of The Institute of Navigation.1991,38 (2).
[5] 曹潔,文如泉.非線性濾波算法在機動目標跟蹤中的研究[J].信息化縱橫，2009,28(18):61-64.